用一道数学题比较当下最流行的模型

概述

今天用一道高中数学导数大题同时问3个AI，结果令人大吃一惊。

首先来看题目：

已知函数 $f(x) = e^{2x}-5e^x + \lambda x$.
（1）若 $\lambda = 2$，求 $f(x)$ 的极值；
（2）若 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 上存在零点，求实数 $\lambda$ 的取值范围.

使用的 prompt 如下：

1
2
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已知函数 f(x) = e^{2x}-5e^x + \lambda x.
（1）若 \lambda = 2，求 f(x) 的极值；
（2）若 f(x) 在区间(-\infty, 0)上存在零点，求实数 \lambda 的取值范围.

Deepseek 的回答

我首先问了当下最火的中国大模型 deepseek-r1 ，由于它的思考过程过于冗长，我们在这里只关注它的最终结果，但思考过程也会在这里附上。

已知函数 $f(x)=e^{2x}-5e^{x}+\lambda x$。
（1）当 $\lambda = 2$ 时，求 $f(x)$ 的极值：
首先求导函数 $f'(x)$：
\[ f'(x) = 2e^{2x}-5e^{x}+2 \]
令 $f'(x)=0$，解得：
\[ 2e^{2x}-5e^{x}+2=0 \]
令 $t=e^x$，方程变为：
\[ 2t^2-5t+2=0 \]
解得 $t=2$ 或 $t=\frac{1}{2}$，即 $x=ln2$ 或 $x=-ln2$。
计算二阶导数 $f''(x)$：
\[ f''(x)=4e^{2x}-5e^{x} \]
在 $x=ln2$ 处：
\[ f''(ln2)=4e^{2ln2}-5e^{ln2}=4 \cdot 4 - 5 \cdot 2 = 6 > 0 \]
因此 $x=ln2$ 处有极小值：
\[ f(ln2)=e^{2ln2}-5e^{ln2}+2ln2=4-10+2ln2=-6+2ln2 \]
在 $x=-ln2$ 处：
\[ f''(-ln2)=4e^{-2ln2}-5e^{-ln2}=4 \cdot \frac{1}{4}-5 \cdot \frac{1}{2}=-1.5<0 \]
因此 $x=-ln2$ 处有极大值：
\[ f(-ln2)=e^{-2ln2}-5e^{-ln2}-2ln2=\frac{1}{4}-\frac{5}{2}-2ln2=-\frac{9}{4}-2ln2 \]
（2）若 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,0)$ 上存在零点，求实数 $\lambda$ 的取值范围：
分析函数 $f(x) = e^{2x}-5e^{x}+\lambda x$ 在区间 $(-\infty,0)$ 上的行为：
当 $x→-\infty$ 时，$e^{2x}$ 和 $e^x$ 均趋近于 $0$，函数行为由 $\lambda x$ 主导：
若 $\lambda > 0$，则 $f(x)→-\infty$；
若 $\lambda < 0$，则 $f(x)→+\infty$；
当 $x→0^-$ 时，$f(x)→-4$。
当 $\lambda < 0$ 时，$f(x)$ 在 $x→-\infty$ 时趋向于 $+\infty$，在 $x→0^-$ 时趋向于 $-4$，根据中间值定理，必定存在零点。
当 $\lambda \ge 0$ 时，分析 $f(x)$ 的极值点和函数值，发现不存在零点。
因此，实数 $\lambda$ 的取值范围为 $\lambda < 0$。

可以看出，deepseek-r1 能完美答对，就是思考过程太长。

Gemini 的回答

接下来是 Google 在上个月推出的推理模型 gemini-2.0-flash-thinking-exp-01-21。

解：
（1）当 $\lambda = 2$ 时，$f(x) = e^{2x}-5e^x + 2x$.
求导得 $f'(x) = 2e^{2x} - 5e^x + 2$.
令 $f'(x) = 0$，则 $2e^{2x} - 5e^x + 2 = 0$，设 $t = e^x$，则 $2t^2 - 5t + 2 = 0$，解得 $(2t - 1)(t - 2) = 0$，所以 $t = \frac{1}{2}$ 或 $t = 2$.
即 $e^x = \frac{1}{2}$ 或 $e^x = 2$，解得 $x = ln(\frac{1}{2}) = -ln(2)$ 或 $x = ln(2)$.
求二阶导数 $f''(x) = 4e^{2x} - 5e^x$.
当 $x = -ln(2)$ 时，$f''(-ln(2))$ = $4e^{-2ln(2)} - 5e^{-ln(2)} = 4e^{ln(1/4)} - 5e^{ln(1/2)} = 4 \cdot \frac{1}{4} - 5 \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{5}{2} = -\frac{3}{2} < 0$.
所以 $f(x)$ 在 $x = -ln(2)$ 处取得极大值，极大值为 $f(-ln(2)) = e^{-2ln(2)} - 5e^{-ln(2)} + 2(-ln(2)) = \frac{1}{4} - 5 \cdot \frac{1}{2} - 2ln(2) = -\frac{9}{4} - 2ln(2)$.
当 $x = ln(2)$ 时，$f''(ln(2)) = 4e^{2ln(2)} - 5e^{ln(2)} = 4e^{ln(4)} - 5e^{ln(2)} = 4 \cdot 4 - 5 \cdot 2 = 16 - 10 = 6 > 0$.
所以 $f(x)$ 在 $x = ln(2)$ 处取得极小值，极小值为 $f(ln(2)) = e^{2ln(2)} - 5e^{ln(2)} + 2ln(2) = 4 - 5 \cdot 2 + 2ln(2) = -6 + 2ln(2)$.
（2）要使 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 上存在零点，即存在 $x \in (-\infty, 0)$ 使得 $f(x) = 0$，即 $e^{2x}-5e^x + \lambda x = 0$.
当 $x \neq 0$ 时，$\lambda = \frac{5e^x - e^{2x}}{x}$. 设 $g(x) = \frac{5e^x - e^{2x}}{x}$. 我们需要求 $g(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上的值域.
求导得 $g'(x) = \frac{(5e^x - 2e^{2x})x - (5e^x - e^{2x})}{x^2} = \frac{5xe^x - 2xe^{2x} - 5e^x + e^{2x}}{x^2} = \frac{e^x(5x - 2xe^x - 5 + e^x)}{x^2}$.
令 $h(x) = 5x - 2xe^x - 5 + e^x$. 则 $h'(x) = 5 - 2e^x - 2xe^x + e^x = 5 - e^x - 2xe^x$.
$h''(x) = -e^x - 2e^x - 2xe^x = -3e^x - 2xe^x = -e^x(3 + 2x)$.
当 $x < -3/2$ 时，$h''(x) > 0$，$h'(x)$ 递增；当 $x > -3/2$ 时，$h''(x) < 0$，$h'(x)$ 递减.
$h'(x)$ 在 $x = -3/2$ 处取得极大值 $h'(-3/2) = 5 - e^{-3/2} - 2(-\frac{3}{2})e^{-3/2} = 5 - e^{-3/2} + 3e^{-3/2} = 5 + 2e^{-3/2} > 0$.
又 $\lim_{x \to -\infty} h'(x) = 5 > 0，h'(0) = 5 - 1 - 0 = 4 > 0$. 所以 $h'(x) > 0$ 在 $(-\infty, 0)$ 上恒成立，$h(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上递增.
$\lim_{x \to -\infty} h(x) = \lim_{x \to -\infty} (5x - 2xe^x - 5 + e^x) = -\infty - 0 - 5 + 0 = -\infty$.
$h(0) = -5 + 1 = -4 < 0$. 所以 $h(x) < 0$ 在 $(-\infty, 0)$ 上恒成立.
因此 $g'(x) < 0$ 在 $(-\infty, 0)$ 上恒成立，$g(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上递减.
$\lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{5e^x - e^{2x}}{x} = 0$.
$\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{5e^x - e^{2x}}{x} = \frac{4}{0^-} = -\infty$.
所以 $g(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上的值域为 $(-\infty, 0)$.
因此，实数 $\lambda$ 的取值范围为 $(-\infty, 0)$.
最终答案：
（1）当 $\lambda = 2$ 时，$f(x)$ 在 $x = -ln(2)$ 处取得极大值 $-\frac{9}{4} - 2ln(2)$，在 $x = ln(2)$ 处取得极小值 $-6 + 2ln(2)$.
（2）实数 $\lambda$ 的取值范围为 $(-\infty, 0)$.

比较意外的是这个 Goodle 的模型也可以答对。顺便说一下，这个模型在 deepseek-r1 推出的一天后就发布了，其实是无意追赶 Deepseek（因为那时候 deepseek 还不火），但有这样的表现着实惊艳。

ChatGPT 的回答

接下来是 OpenAI 最新的推理模型 o3-mini。

（1）若 λ = 2，求 f(x) 的极值。已知函数：
\[ f(x) = e^{2x} - 5e^x + \lambda x \]
当 $\lambda = 2$ 时，函数变为：
\[ f(x) = e^{2x} - 5e^x + 2x \]
首先，求 f(x) 的一阶导数：
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{2x}) - \frac{d}{dx}(5e^x) + \frac{d}{dx}(2x) \]
\[ f'(x) = 2e^{2x} - 5e^x + 2 \]
为了找极值点，解方程 $f'(x) = 0$：
\[ 2e^{2x} - 5e^x + 2 = 0 \]
设 $y = e^x$，则 $e^{2x} = y^2$，方程变为：
\[ 2y^2 - 5y + 2 = 0 \]
解这个二次方程：
\[ y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} \]
\[ y = \frac{5 \pm 3}{4} \]
所以，$y = 2$ 或 $y = \frac{1}{2}$。
因此，$e^x = 2$ 或 $e^x = \frac{1}{2}$，即：
\[ x = \ln 2 \quad \text{或} \quad x = -\ln 2 \]
这两个点分别为极值点。
接下来，判断这两个点的极值类型。我们求 f(x) 的二阶导数：
\[ f''(x) = \frac{d}{dx}(2e^{2x} - 5e^x + 2) = 4e^{2x} - 5e^x \]
在 $x = \ln 2$ 处：
\[ f''(\ln 2) = 4e^{2\ln 2} - 5e^{\ln 2} = 4 \cdot 4 - 5 \cdot 2 = 16 - 10 = 6 > 0 \]
所以，$x = \ln 2$ 是一个极小值点。
在 $x = -\ln 2$ 处：
\[ f''(-\ln 2) = 4e^{2(-\ln 2)} - 5e^{-\ln 2} = 4 \cdot \frac{1}{4} - 5 \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{5}{2} = -\frac{3}{2} < 0 \]
所以，$x = -\ln 2$ 是一个极大值点。
因此，$x = \ln 2$ 为极小值点，$x = -\ln 2$ 为极大值点。
（2）若 f(x) 在区间 $(-∞, 0)$ 上存在零点，求实数 $\lambda$ 的取值范围。
首先，函数为：
\[ f(x) = e^{2x} - 5e^x + \lambda x \]
要使 f(x) 在区间 $(-∞, 0)$ 上有零点，首先分析函数的行为。我们首先考虑 f(x) 在 x = 0 处的值：
\[ f(0) = e^{2 \cdot 0} - 5e^0 + \lambda \cdot 0 = 1 - 5 = -4 \]
因此，$f(0) = -4$。
对于 $x \to -\infty$，因为 $e^{2x} \to 0$ 和 $e^x \to 0$，所以当 $x \to -\infty$ 时：
\[ f(x) \to 0 \]
我们分析 f(x) 的导数：
\[ f'(x) = 2e^{2x} - 5e^x + \lambda \]
对于 $x \to -\infty$，$e^x$ 和 $e^{2x}$ 都趋近于 0，因此：
\[ f'(x) \to \lambda \]
因此，如果 $\lambda > 0$，则 $f'(x) > 0$，即 f(x) 是递增的；如果 $\lambda < 0$，则 $f'(x) < 0$，即 f(x) 是递减的；如果 $\lambda = 0$，则 $f'(x) = 2e^{2x} - 5e^x$ 在 $x \to -\infty$ 时趋近于 0。
由于 $f(0) = -4$，而 $f(x) \to 0$ 当 $x \to -\infty$，如果 $\lambda > 0$，那么 f(x) 是递增的，必定存在零点。而如果 $\lambda \leq 0$，由于 $f(x)$ 没有足够的上升趋势，它可能不会有零点。
因此，要使 f(x) 在区间 $(-∞, 0)$ 上存在零点，实数 $\lambda$ 必须满足：
\[ \lambda > 0 \]

？？？

刚开始还以为用错模型了，再一看没错啊。

多试了几次，仍然是这种结果。

第一问就不太对，题目问极值却只求出了极值点。

很明显，这个模型很废物，竟然连 gemini 都不如，实在不知道 OpenAI 每天都在干啥。

会不会需要付费才能使用的 o3-mini-high 可以解答呢？我去浅试了一下：

设 $f(x) = e^(2x) - 5e^x + λx$.
（1）当 $λ = 2$ 时，$f(x) = e^(2x) - 5e^x + 2x$.
求导：
$f'(x) = 2e^(2x) - 5e^x + 2$.
设 $f'(x) = 0$，令 $u = e^x$（注意 $u > 0$）：
有 $2u^2 - 5u + 2 = $.
解该二次方程：
$Δ = 25 - 16 = 9$, 则 $u = [5 ± 3] / 4$.
所以，$u1 = 2$, $u2 = 1/2$.
对应 $x1 = ln2$, $x2 = -ln2$.
计算二阶导数：
$f''(x) = 4e^(2x) - 5e^x$.
在 $x = ln2$:
$f''(ln2) = 4(4) - 5(2) = 16 - 10 = 6 > 0$, 故 $x = ln2$ 为局部最小点.
在 $x = -ln2$:
$f''(-ln2) = 4(1/4) - 5(1/2) = 1 - 2.5 = -1.5 < 0$, 故 $x = -ln2$ 为局部最大点.
计算极值：
$f(ln2) = e^(2ln2) - 5e^(ln2) + 2 ln2 = 4 - 10 + 2 ln2 = -6 + 2 ln2$.
$f(-ln2) = e^(-2ln2) - 5e^(-ln2) + 2(-ln2) = 1/4 - 5/2 - 2 ln2 = -2.25 - 2 ln2$.
【答案1】：
局部最大值：在 $x = -ln2$, 值为 $-2.25 - 2 ln2$.
局部最小值：在 $x = ln2$, 值为 $-6 + 2 ln2$.
（2）讨论 $f(x)$ 在区间 $(-∞, 0)$ 上存在零点的条件。
在 $x = 0$:
$f(0) = e^0 - 5e^0 + λ·0 = 1 - 5 = -4$.
当 $x → -∞$ 时，由于 $e^(2x) → 0$, $e^x → 0$, 故 $f(x) ≈ λx$.
若 $λ < 0$，则当 $x → -∞$ 时，$λx → +∞$；此时 $f(0) = -4$, 根据连续性，函数 $f(x)$ 必经过零点，所以在 $(-∞, 0)$ 上至少存在一个零点.
若 $λ ≥ 0$，则 $x → -∞$ 时 $f(x) → -∞$ 或 $0$，且 $f(0) = -4$，因此 $f(x)$ 在 $(-∞, 0)$ 内始终为负，不存在零点.
【答案2】：
$f(x)$ 在 $(-∞, 0)$ 上存在零点的充要条件为 $λ < 0$.